Esperanza Matemática

En Bioestadística la esperanza matemática también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media de una variable aleatoria , es el número  que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido más general de la palabra - el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible.

La esperanza matemática tiene las siguientes propiedades principales:

1. E(x) al igual que la media, es un número que depende de todos los valores de la serie y de sus respectivas probabilidades, ya que todos ellos entran en su cálculo.

2. Si  X  e  Y  son variables aleatorias, entonces

     E (X + Y) = E(X) + E(Y)
    E(Ax) = A E(x)
    E(X.Y) = E(X) E(Y)
    E(X₁ + X₂ +.........+ X_e) = E(X₁)+ E(X₂) +.........+ E(X_e)
    E(X₁ + X₂ +.........+ X_t) = E(X₁) E(X₂) *.........* E(X_t)
     E(X + a) = E(X) + a
     E(ax + b) = aE(X) + b

3. Si “ A ” es una constante y “ X ” una variable, 

4. Si X e Y son variables aleatorias independientes 

5. Si X₁, X₂, ......., X_e son variables aleatorias

6. Si X₁, X₂, ......., X_t son variables aleatorias independientes

7. La esperanza matemática es un valor que oscila en el intervalo (Mínimo X_i; máximo X_i), en donde, tiende a situarse en el     centro, para así considerarse representativa de los valores de la serie de datos.

8. Si “ X ” es variable aleatoria y “ a ” una constante ,

9. Sea X una variable aleatoria , “ a ” y “ b”constantes,

• El valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. y cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al rodar el dado. En este caso, en el que todos los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la media aritmetica.

• Una aplicación común de la esperanza matemática es en las apuestas o los juegos de azar. Por ejemplo, la ruleta americana tiene 38 casillas equiprobables. La ganancia para acertar una apuesta a un solo número paga de 35 a 1 (es decir, cobramos 35 veces lo que hemos apostado y recuperamos la apuesta, así que recibimos 36 veces lo que hemos apostado). Por tanto, considerando los 38 posibles resultados, la esperanza matemática del beneficio para apostar a un solo número es: -0,0526 aproximadamente. Por lo tanto uno esperaría, en media, perder unos 5 céntimos por cada euro que apuesta, y el valor esperado para apostar 1 euro son 0.9474 euros. En el mundo de las apuestas, un juego donde el beneficio esperado es cero (no ganamos ni perdemos) se llama un "juego justo".

La varianza Se puede definir como el "casi promedio" de los cuadrados de las desviaciones de los datos con respecto a la media muestral.  Propiedades de la varianza  Dos propiedades importantes de la varianza son: 1.    La varianza de una constante es cero 2.    Otra propiedad importante es que si se tiene la varianza  de de un conjunto de datos y a cada observación se multiplica por una constante, entonces la nueva varianza de los datos se obtiene multiplicando a la varianza de los datos por . Ejemplo  Calcular la varianza de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

La desviación típica o desviación estándar  Denotada con el símbolo σ o s, dependiendo de la procedencia del conjunto de datos,  es una medida de dispersión para variables de razón (variables cuantitativas o cantidades racionales) y de intervalo. Se define como la raíz cuadrada de la varianza de la variable. La desviación estándar puede ser interpretada como una medida de incertidumbre. La desviación estándar de un grupo repetido de medidas nos da la precisión de éstas. Cuando se va a determinar si un grupo de medidas está de acuerdo con el modelo teórico, la desviación estándar de esas medidas es de vital importancia: si la media de las medidas está demasiado alejada de la predicción (con la distancia medida en desviaciones estándar), entonces consideramos que las medidas contradicen la teoría. Esto es coherente, ya que las mediciones caen fuera del rango de valores en el cual sería razonable esperar que ocurrieran si el modelo teórico fuera correcto. La desviación estándar es uno de tres parámetros de ubicación central; muestra la agrupación de los datos alrededor de un valor central (la media o promedio). Propiedades de la desviación estándar 1 La desviación estándar será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales. 2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación estándar no varía. 3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación estándar queda multiplicada por dicho número. 4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones estándar se puede calcular la desviación estándar total. Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes: 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5. Por ejemplo, las tres muestras (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) y (6, 6, 8, 8) cada una tiene una media de 7. Sus desviaciones estándar muestrales son 7, 4 y 1 respectivamente. La tercera muestra tiene una desviación mucho menor que las otras dos porque sus valores están más cerca de 7.